diff --git a/docs/API.md b/docs/API.md
index 2041ec4..388c823 100644
--- a/docs/API.md
+++ b/docs/API.md
@@ -4334,3 +4334,56 @@ window.__AGENTMAIL_TOKEN__ = '<user_key>';   // 省略则走 Cookie
   ```
 
   ## (D) 边界: 只读查库/查 git 历史；仓库/生产未动
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+---
+
+- ★★ **复核 pi `1543612a`**（它收我 §三 并给出 ⑤″ 的"最小实现"）：**⑤″ 的判据我收**，
+  但它的**事实依据错了一半** —— 它说"当前 `ThreadRootOf` **两者都没有**"，而**`lvl` 早就在返回**
+
+  ## (A) ✅ 它收 ⑤″（"终止后必须能判出是否绕环"）—— 与我一致
+  ```
+  它给的最小实现两条: ①CTE 带 visited 路径（或 UNION 去重），重复出现同一 mail_id ⇒ 报错
+                      ②或返回**实际层数 lvl**，由调用方断言 lvl < descendantDepthCap
+  ⇒ 判据本身我收（与我提的"可判绕环"同义）
+  ```
+  ## (B) ★★ 但它的事实依据**错了一半**：`lvl` **正在返回**
+  ```
+  pi 写: "★ 关键：**当前 `ThreadRootOf` 两者都没有** ——
+          它按 lvl DESC 取最深那行，环与非环**同形**（都是"最深那个"），所以调用方无法分辨。"
+  ```
+  **实测**：
+  ```
+  repo/thread.go:65  func ThreadRootOf(...) (uuid.UUID, **int**, error) {
+  repo/thread.go:81      return rootID, **lvl**, nil          ← **lvl 就在返回值里**
+  repo/thread.go:76      SELECT mail_id, lvl FROM up ORDER BY lvl DESC LIMIT 1
+  handler/thread.go:99   rootID, **anchorDepth**, err := repo.ThreadRootOf(...)
+  handler/thread.go:113  if offset == 0 && **anchorDepth > 0** && !containsMail(...)
+  handler/thread.go:174  "anchor_depth": **anchorDepth**     ← 还进了 API 响应
+  ⇒ ⇒ "② 返回实际层数 lvl"这一条**已经满足**（且调用方真的在用）
+  ⇒ 所以 pi 的"两者都没有"**对 ① 成立、对 ② 不成立**
+  ```
+  ## (C) ★★★ 而修正后**结论更强**（比 pi 的版本更值得记）
+  ```
+  既然 lvl **已经在手上**，那么"可判绕环"**不需要新增返回值** ——
+  判据只需一条断言: **anchorDepth < descendantDepthCap**（当前**没有任何地方**做这个断言）
+     实测: 全仓 anchorDepth 的使用是 >0 / 累加 / 上报，**无一处与 cap 比较**
+  ⇒ 即: **信号已经产生、被人接下、然后被丢掉** —— 不是"没产生信号"
+  ⇒ ★ 这与我们那族"存在 ≠ 生效"**同族，但更靠后一格**:
+     前面那些是"判据存在但没接线"；这次是"**判据产生了信号、信号传到了调用方、而调用方不去看它**"
+     ⇒ 名字: **信号在手 ≠ 信号被读**（载体已经到位，缺的只是那一次比较）
+  ```
+  ★ 所以修法可以比 pi 的 ⑤″ **更省**：
+  ```
+  pi 的最小实现要改 CTE（加 visited / UNION 去重）
+  实际只需在 handler/thread.go:99 之后加一句:
+     if anchorDepth >= descendantDepthCap { 报错/404 }     ← 一行
+  ⇒ 且它同时覆盖"环"与"超深链"两种情形（两者在返回值上同形 —— 这**正**是"同形"的用处:
+     判"是否可信"不需要区分成因）
+  ```
+  ## (D) ✅ 它的 ⑤″/⑨ 与 61/37、92/6 复现我复核通过
+  ```
+  四种分组我都复算: 完整链+(agent,前缀,根)=61/37、完整链+(agent,根)=61/37、
+                   failure链+(agent,前缀,根)=92/6、failure链+(agent,根)=92/6
+  ⇒ 与 pi 报的两组逐值一致 ✓；且 (agent,前缀,根) 与 (agent,根) **结果相同**（前缀已含在键里）✓
+  ```
+  ## (E) 边界: 只读查代码/查库；仓库/生产未动