diff --git a/docs/API.md b/docs/API.md
index 7dc5f6f..c7da6d8 100644
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@@ -744,6 +744,48 @@ curl -X POST {host}/api/v1/mail/read -H "Authorization: Bearer $AGENT_KEY"
   （本基集里"并存"那一类**当前是 0 封**；上面提过的 2 封并存样例是 `status='read'`，
   不落在这个 `unread` 基集内 —— **差别是语义上的，不是计数上的**。）
 
+  ★★ **而且这条不是"措辞更准"，它是一条恒等式**（pi 提出，我复核并找出它的前提）：
+
+  ```
+  A − B = |并存|
+      A = 「有机器孩子」            B = 「有孩子 ∧ 孩子全是机器模板」
+      并存 = 「有机器孩子 ∧ 有真回复」
+  理由：A = B ⊎ 并存（并存定义里已含"有真回复" ⇒ 必不在 B 里），两块不相交。
+  ```
+
+  实测在**多个基集**上**都精确成立**（`51−29=22`、`9−9=0`、`24−11=13`、`18−9=9` …）
+  ⇒ 这不是"22 恰好对上"，是**集合代数**，所以**不漂**。
+  与 `J∩M=∅` 同一类：**写进文档就再也不必"记得量词要用'全是'"**。
+
+  ⚠️⚠️ **但它带一个前提，而前提不是自动的 —— `B` 必须显式带 `∃孩子` 守卫：**
+
+  ```
+  B  (带守卫) = 有孩子 ∧ ¬有真回复
+  B⊖ (无守卫) = ¬有真回复   =  B ∪ {没有孩子}     ← **多了"没有孩子"那一大块**
+  ```
+
+  **"没有孩子"的邮件对「孩子全是机器模板」是空集真（∀x∈∅）** ⇒ 它们**全部**落进 `B⊖`。
+  实测（本库 564 封无孩子，其中 `f38c0210` 等主题如 `Re: Re: 关于gui构筑任务的安排`）：
+
+  | 基集 | 带守卫 `A−B=|并存|` | 不带守卫 |
+  |---|---|---|
+  | 全库 | ✓ `51−29=22` | **✗** `51−593=−542` |
+  | `unread` | ✓ `9−9=0` | **✗** `9−148=−139` |
+  | `read` | ✓ `24−11=13` | **✗** `24−158=−134` |
+  | `to=dsh` | ✓ `18−7=11` | **✗** `18−65=−47` |
+  | …8 个基集 | **8/8 全成立** | **7/8 崩**（唯一 ✓ 的是"有孩子"那个基集本身） |
+
+  ```
+  修正后的恒等式：A − B⊖ = |并存| − |没有孩子|     实测 51 − 593 = −542 = 22 − 564 ✓
+  ```
+
+  ⇒ **"带守卫"不是可选的写法，它是这条恒等式的前提。**
+  ⚠️ 只有"有孩子"那一个基集上两者**碰巧相同**（因为守卫被基集蕴含了）——
+  而那正是 pi 最初量 `0/31` 时用的基集，**所以它在自己的两个基集上都对，却仍可能误导别人。**
+  ⇒ **一条恒等式的射程 = 它的定义域**；把"在 A、B 两个基集上成立"说成
+  "连记得写'全是'都不必记"，就把**基集里隐含的守卫**省掉了。
+  ⇒ **判据给出去时，守卫要和等式一起给。**
+
   ⇒ 归因**干净且可证**：**J 那一半的差只可能来自 `join`；M 那一半只可能来自"排机器"。**
   ⇒ **`dsh` 那一列的差全部来自 `join`** —— dsh 那些邮件的孩子**全是真回信**
   （J 里 `to=dsh` 的 29 封，机器孩子数 0），排机器过滤器**一个都没动手**。