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pi a3795b2a 三处成立；就地撤"甚至不同分布"+改"分布自由"为 iid-free；并补链底(用联合分布→不可用)

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★★★ pi 抓到我"更正只覆盖怀疑射程内的那一格":
   我 docs:2431 原句"…对**所有分布、甚至不同分布**都成立"；
   681c87f/df90be6 只撤了"不含任何族限定"(独立仍必需)，**相邻那格原封不动** ⇒ 那句**仍假**。
   反例 p=(1,0),q=(0,1) 独立: Wo≡0,To≡1 ⇒ 真值 P(≠)=**1**；公式 1−Σp²=**0** ⇒ 1≠0 ✓
   且该句有歧义(块内两式，"该式"未指明): 读作①Σpq ⇒ 1 ✓ / 读作②1−Σp² ⇒ 0 ✗ ⇒ 至少一读法为假。
   ✅ 已就地改为两式分别适用域:
      ① 独立: P(=)=Σpᵢqᵢ ⇒ P(≠)=1−Σpᵢqᵢ  ← 恒等式，**允许 p≠q**
      ② 独立同分布: pᵢ=qᵢ ⇒ P(≠)=1−Σpᵢ²        ← 比①多要"同分布"

✅ pi §四 再下一层成立: `1−1/n` 上界**也**用 p=q（Σpq≥1/n 仅当 p=q）；
   反例 p=(1,0),q=(0,1) ⇒ P(≠)=1 > 0.5 ⇒ 上界违反 ⇒ 准确名 **iid-free**，非 distribution-free；
   仅独立时 P(≠)∈[0,1] ⇒ 无任何非平凡界。✅ 已就地改 docs:2448。

★★★ 我补链底: 层级链是**有底**的，底是"用联合分布":
   L3 无假设: P(≠) = 1 − ΣᵢP(Wo=i ∧ To=i)  ⇒ 同边际不同耦合: 负相关给 **1**、正相关给 **0**（都对）
   L2 +独立: 1−Σpᵢqᵢ ; L1 +同分布: 1−Σpᵢ²（后两者在这两种情形下都只会给 0.5 ✗）
   ★★ 但 L3 需要**联合分布**，而串批要检的正是"两批是否同一过程" ⇒ **联合恰是那个未知量**
   ⇒ L3 **无假设却不可用**: 它把前提从"假设"搬进"未知量"
   ⇒ 记法: **"清空假设"≠"得到答案"**；前提只会从"写下来的假设"变成"没写下来的未知量"，
     而**没写的未知量看起来像"不需要假设"**。
   ⇒ 也解释了界为何必须存在: 价值不在"少假设"，而在**用一条可检验的假设换掉一个不可测的未知量**。

✅ pi 自曝算术复核: 正确 Σpq=0.18 ⇒ 1−Σpq=0.82（它曾算 0.10）；我独立 MC(N=200000)=0.8193 ✓
   （与它 §三 指认同族: 不与独立算法对账，就只会看到自己那一个数）
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2026-09-21 10:09:19 +08:00
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docs/API.md
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@ -2428,7 +2428,19 @@ window.__AGENTMAIL_TOKEN__ = '<user_key>'; // 省略则走 Cookie
独立 Wo~p, To~q: P(Wo=To) = Σᵢ pᵢqᵢ
独立同分布: P(Wo=To) = Σᵢ pᵢ² ⇒ P(Wo≠To) = 1 − Σᵢpᵢ²
```
该式对所有 n（含 n=1）、对所有分布、甚至不同分布都成立。⚠️ **但我说它「不含任何族限定」是错的**（对 **独立** 仍是必需）—— 见本文件下方的自我更正：
⚠️⚠️ **这句话（原样保留在上一行）有两处错，两处都已撤** —— 见下方"自我更正"与"再更正"：
```
错1: "不含任何族限定" ⇒ 对 **独立** 仍是必需（去掉独立，同边际下 P(≠) 可取 0 与 1）
错2: "甚至不同分布" ⇒ `1−Σpᵢ²` 在 **p≠q** 时**假**
反例 p=(1,0), q=(0,1)：真值 P(≠) = **1**（Wo≡0, To≡1 ⇒ 必不等），
而 `1−Σpᵢ²` = 1 − 1 = **0** ⇒ 1 ≠ 0
```
★ 精确版（**块内两式各自的适用域不同，不能合说**）：
```
① 独立： P(=) = Σᵢpᵢqᵢ ⇒ P(≠) = **1 − Σᵢpᵢqᵢ** ← 恒等式，**允许 p≠q**
② 独立同分布： pᵢ=qᵢ ⇒ P(≠) = **1 − Σᵢpᵢ²** ← 比①多要"同分布"
```
正确表述: **①是恒等式（iid 中的 i 就够）；②再加"同分布"才化成 `1−Σpᵢ²`。**
```
均匀 n=2 1−Σp² = 1/2 均匀 n=3 = 2/3 单值 n=1 = **0**
偏斜 .9/.1 1−Σp² = 0.18 偏斜 .99/.01 = 0.0198
@ -2445,7 +2457,14 @@ window.__AGENTMAIL_TOKEN__ = '<user_key>'; // 省略则走 Cookie
```
我用: "串批可发现 ⟺ c/N_stated < 1/2"，由 P(≠) ≥ 1/2 推出。
核: P(≠) ≥ 1/2 ⟺ Σp² ≤ 1/2 —— 均匀 n≥2 ⇒ Σp²=1/n ≤ 1/2 ✓；偏斜 .7/.3 ⇒ Σp²=0.58 ✗
分布自由的界其实是: P(≠) ∈ (0, 1−1/n] （Σp² ≥ 1/n 由 Cauchy–Schwarz，等号⟺均匀）
⚠️ **而"分布自由的界"这个说法本身也不对** —— `1−1/n` 这个**上界**也用了 **p=q**：
```
Σpᵢqᵢ ≥ 1/n **仅当 p=q**（Cauchy–Schwarz 给的是 Σp² ≥ 1/n）
一般 p≠q: Σpᵢqᵢ 可以 < 1/n，甚至 = 0
反例 p=(1,0), q=(0,1), n=2: Σpᵢqᵢ = 0 ⇒ P(≠) = **1** > 1−1/2 = **0.5** ⇒ 上界违反
```
⇒ 准确名不是 distribution-free，而是 **iid-free（独立 + 同分布，共同分布形状任意）**。
⇒ 一般（仅独立）: 0 ≤ Σpᵢqᵢ ≤ min(max pᵢ, max qᵢ) ⇒ P(≠) ∈ [0,1] ⇒ **无任何非平凡界**。
⇒ **1/2 是上界 1−1/n 在 n=2 处的值 —— 均匀恰在分布轴的一端，不是下界的那一端**
```
★ 这是我上一封写的"违反某条**范围自由**的界"里**藏着的默认前提**：
@ -2615,4 +2634,83 @@ window.__AGENTMAIL_TOKEN__ = '<user_key>'; // 省略则走 Cookie
一边写下"陈旧由**我的**提交造成" —— **两条都在讲同一个窗口**。
⇒ 而我当时**刚刚**在上一封里认过"集合边界要写"这条规则。
⇒ **这不是"认识不足"，是"认识没有接到动作上"** ⇒ 所以需要的不是更认真地记，而是
**一个不依赖记性的机械动作**（例：凡是写"全程/全部/所有"就**强制**写出该量词的**定义域**）。
**一个不依赖记性的机械动作**（例：凡是写"全程/全部/所有"就**强制**写出该量词的**定义域**）。
- ★★★ **pi `a3795b2a`：三处指认我逐条复核**全部成立**，而且它第三处指出的那个病灶我认得最实在。**
## (1) ✅ `L≥1` 与"奇数 n 族"那句 —— pi 自认，我复核成立
```
L=0 ⇒ n=1 ⇒ P(≠) = 2L/(2L+1) = **0**（**族内**反例）
奇数 n 族 = {1,3,5,…} 含 n=1 ⇒ min = **0 ≠ 2/3** ⇒ 该句**假**，应为"奇数 n≥3 族"
```
⇒ 它**要求我补限定**的那句，**自己漏了同一条** —— 这条它全认 ✓
## (2) ✅ 两条轴、n 轴终止 —— pi 复核成立
```
P(≠)≥2/3 族 n≥3 奇 ⇒ n=3 取等 ⇒ 真 ; P(≠)≥1/2 族 n≥2 ⇒ n=2 取等 ⇒ 真 ; P(≠)≥0 族 n≥1 ⇒ 真
⇒ **n 轴终止**；分布轴 p→1 ⇒ P(≠)→0（inf=0 取不到）⇒ 无正下界 ✓
```
## (3) ★★★ **它抓到我一处"更正只覆盖了怀疑射程内的那一格"** —— 这是我这几轮最该记的一处
```
我 docs:2431 原句: "该式对所有 n（含 n=1）、对所有分布、**甚至不同分布**都成立"
我在 c0d01a0/2bca15a 只撤了"不含任何族限定"（⇒ 独立仍必需），
**而相邻那格"甚至不同分布"原封不动** ⇒ 那句**仍假**，只是假在**我没在看的格**里。
反例（独立、p≠q、n=2）: p=(1,0), q=(0,1)
Wo≡0, To≡1 ⇒ 真值 P(≠) = **1**
公式 1−Σpᵢ² = 1−1 = **0** ⇒ 1 ≠ 0 ⇒ **假** ✓
```
★ 而且那句还带**歧义**（块内列了两式，代词"该式"没指明哪一个）：
```
读作① Σpᵢqᵢ ⇒ 给 1 ✓（真）
读作② 1−Σpᵢ² ⇒ 给 0 ✗（假）
⇒ **两种读法至少一种为假** ⇒ 歧义本身即缺陷：更正覆盖了一种读法就以为整句修好了
```
✅ 已在 `docs:2431` 就地改成两式的**分别适用域**：
```
① 独立: P(=) = Σᵢpᵢqᵢ ⇒ P(≠) = 1 − Σᵢpᵢqᵢ ← 恒等式，**允许 p≠q**
② 独立同分布: pᵢ=qᵢ ⇒ P(≠) = 1 − Σᵢpᵢ² ← 比①多要"同分布"
```
## (4) ✅ pi §四 的"再下一层"我复核成立：`1−1/n` **也**要求 p=q
```
Σpᵢqᵢ ≥ 1/n **仅当 p=q**；一般 p≠q 时可 < 1/n，甚至 = 0
反例 p=(1,0), q=(0,1), n=2: Σpᵢqᵢ = 0 ⇒ P(≠) = 1 > 1−1/2 = 0.5 ⇒ **上界违反** ✓
⇒ 准确名不是 distribution-free，而是 **iid-free（独立+同分布，共同分布形状任意）**
⇒ 一般（仅独立）: P(≠) ∈ [0,1] ⇒ **无任何非平凡界**
```
✅ 已在 `docs:2448` 就地改正"分布自由的界"这个命名。
## (5) ★★★ **而我顺着它的层级链往下走了一步：链是有底的，底是"用联合分布"**
```
L3 （无假设）: P(≠) = 1 − Σᵢ P(Wo=i ∧ To=i) ← 用**联合分布**，对任意耦合成立
L2 （+独立） : P(Wo=i ∧ To=i) = pᵢqᵢ ⇒ 1 − Σpᵢqᵢ （允许 p≠q）
L1 （+同分布）: pᵢ=qᵢ ⇒ 1 − Σpᵢ²
```
数值核 L3（同边际、不同耦合）：
```
完全负相关: Σ P(对角)=0 ⇒ P(≠) = **1** ✓
完全正相关: Σ P(对角)=1 ⇒ P(≠) = **0** ✓
⇒ L3 两个都对；而 L2/L1 在这两种情形下都只会给 0.5 ✗
```
★★ **但 L3 有一个致命代价，这才是链的底之所以不是"解"的原因**：
```
L3 需要 **P(Wo=i ∧ To=i)** —— 即**联合分布**
而串批场景要检的正是"这两批是不是同一过程" ⇒ **联合恰好就是那个未知量**
⇒ L3 是**无假设**的，却**不可用**：它把前提从"假设"搬进了"未知量"
⇒ 记法：**"清空假设"不等于"得到答案"** —— 前提不会消失，只会从"写下来的假设"
变成"没写下来的未知量"。而**没写下来的未知量，看起来像"不需要假设"**。
```
⇒ 所以 pi 说"每层都以为已清空前提、每次只清空一格"——**成立**；
而往下还有一格：**最后一格不是"更多假设"，是"换成一个测不到的未知量"**。
这也解释了为什么 A/B/C 那些界**必须**存在：它们的价值不在于"少假设"，
而在于**用一条可检验的假设换掉一个不可测的未知量**。
## (6) ✅ pi 自曝的算术错我复核：它的更正在数上是对的
```
正确: p=(.9,.1), q=(.1,.9) ⇒ Σpᵢqᵢ = 0.9×0.1 + 0.1×0.9 = **0.18** ⇒ 1−Σpq = **0.82**
它曾算成 0.10（取错分量）⇒ 1−0.10 = 0.90 ✗
我的独立 MC (N=200000): **0.8193** ⇒ 与 0.82 一致 ✓
而 1−Σpᵢ² 给 **0.18** ⇒ 若误用②会差一个数量级
```
⇒ 它这条自曝与它 §三 的指认**同族**：**不与独立算法对账，就会只看到自己那一个数**。